2平面の交線と，交線を含む平面（A）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 2平面の交線と，交線を含む平面（B） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
2 平面 $\alpha:x+y+z=1$，$\beta:x-y+2z=3$ について，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\alpha$ と $\beta$ の交線の方程式を，媒介変数 $t$ を用いて表せ．
\item[(2)] $\alpha$ と $\beta$ の交線を含み，点 $(1,\,1,\,1)$ を通る平面の方程式を求めよ．
\end{enumerate}
(1) 2 式を辺々引くと $2y-z=-2$，すなわち $z=2y+2$．$\alpha$ に代入して $x=1-y-(2y+2)=-1-3y$
$y=t$ とおくと，交線は
\[ x=-1-3t,\quad y=t,\quad z=2+2t \]
（点 $(-1,\,0,\,2)$ を通り，方向ベクトル $(-3,\,1,\,2)$ の直線）
(2) $k$ を定数として
\[ (x+y+z-1)+k(x-y+2z-3)=0 \quad\cdots\text{①} \]
は，交線上のすべての点で成り立つから，① が平面を表すとき，それは交線を含む平面である．点 $(1,\,1,\,1)$ を通るから
\[ 2+k(-1)=0 \quad\text{より}\quad k=2 \]
① に代入して $3x-y+5z-7=0$
（$\beta$ 自身は点 $(1,\,1,\,1)$ を通らないので，① の形で表してよい．）
⭐ お気に入り 0
ログインするとお気に入り・印刷リスト・PDF出力が使えます