直線の方向ベクトルと平面の法線ベクトル（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 直線の方向ベクトルと平面の法線ベクトル（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
直線 $\ell:(x,\,y,\,z)=(2,\,-1,\,1)+t(2,\,1,\,2)$ と点 $\mathrm{P}(1,\,0,\,3)$ について，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\mathrm{P}$ を通り $\ell$ に垂直な平面 $\alpha$ の方程式を求めよ．
\item[(2)] $\ell$ と $\alpha$ の交点 $\mathrm{H}$ の座標を求め，点 $\mathrm{P}$ と直線 $\ell$ の距離を求めよ．
\end{enumerate}
(1) 法線ベクトルは $(2,\,1,\,2)$ であるから
\[ 2(x-1)+y+2(z-3)=0 \quad\text{すなわち}\quad 2x+y+2z=8 \]
(2) $\ell$ 上の点 $(2+2t,\,-1+t,\,1+2t)$ を $\alpha$ の方程式に代入して
\[ 2(2+2t)+(-1+t)+2(1+2t)=8 \quad\text{より}\quad 9t+5=8,\ t=\frac{1}{3} \]
よって $\mathrm{H}\left(\dfrac{8}{3},\,-\dfrac{2}{3},\,\dfrac{5}{3}\right)$
$\mathrm{PH}\perp\ell$ であるから，求める距離は
\[ \mathrm{PH}=\sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^2+\left(-\frac{2}{3}\right)^2+\left(-\frac{4}{3}\right)^2}=\frac{\sqrt{45}}{3}=\sqrt{5} \]
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