直線の方向ベクトルと平面の法線ベクトル（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 直線の方向ベクトルと平面の法線ベクトル（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
直線 $\ell:(x,\,y,\,z)=(1,\,2,\,3)+t(1,\,1,\,0)$ と平面 $\alpha:x+z=5$ について，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\ell$ と $\alpha$ のなす角 $\theta$（$0^\circ\leqq\theta\leqq 90^\circ$）を求めよ．
\item[(2)] 点 $(1,\,2,\,3)$ を通り，$\ell$ に垂直な平面の方程式を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $\ell$ の方向ベクトル $\vec{d}=(1,\,1,\,0)$ と $\alpha$ の法線ベクトル $\vec{n}=(1,\,0,\,1)$ のなす角を $\varphi$ とすると
\[ \cos\varphi=\frac{1+0+0}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac{1}{2} \]
$0^\circ\leqq\varphi\leqq 180^\circ$ であるから $\varphi=60^\circ$
直線と平面のなす角 $\theta$ は $90^\circ-\varphi$ であるから $\theta=30^\circ$
（$\sin\theta=\dfrac{|\vec{d}\cdot\vec{n}|}{|\vec{d}||\vec{n}|}$ と考えてもよい．）
(2) $\ell$ に垂直な平面は $\vec{d}=(1,\,1,\,0)$ を法線ベクトルにもつ．点 $(1,\,2,\,3)$ を通るから
\[ (x-1)+(y-2)=0 \quad\text{すなわち}\quad x+y=3 \]
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