2つの球面が交わる円（B）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 2つの球面が交わる円（A） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
2 つの球面 $S_1:x^2+y^2+z^2=9$，$S_2:x^2+y^2+z^2-4x-4y+2z=0$ について，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $S_2$ の中心と半径を求めよ．
\item[(2)] $S_1$ と $S_2$ の交わりの円を含む平面の方程式を求めよ．
\item[(3)] (2) の円の中心と半径を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $(x-2)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=9$ より，中心 $(2,\,2,\,-1)$，半径 $3$
(2) $S_1$ の式から $S_2$ の式を引くと $4x+4y-2z=9$．共有点はこの平面上にあるから，求める平面は $4x+4y-2z=9$
(3) 円の中心 $\mathrm{H}$ は，$S_1$ の中心 $\mathrm{O}$ から平面に下ろした垂線の足である．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=t(4,\,4,\,-2)$ を代入して $36t=9$，$t=\dfrac{1}{4}$．よって $\mathrm{H}\left(1,\,1,\,-\dfrac{1}{2}\right)$
$\mathrm{OH}=\dfrac{1}{4}\sqrt{16+16+4}=\dfrac{3}{2}$ であるから，半径は $\sqrt{9-\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
（2 つの球面の半径が等しいので，$\mathrm{H}$ は 2 つの中心を結ぶ線分の中点になっている．）
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