球面と平面の交わる円の中心と半径（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 球面と平面の交わる円の中心と半径（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
球面 $(x-1)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=16$ と平面 $2x-y+2z=k$ について，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 交わってできる円の半径が $2\sqrt{3}$ となるような $k$ の値を求めよ．
\item[(2)] 球面と平面が共有点をもたないような $k$ の値の範囲を求めよ．
\end{enumerate}
球の中心 $(1,\,-1,\,2)$ と平面の距離を $d$ とすると
\[ d=\frac{|2+1+4-k|}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{|7-k|}{3} \]
(1) 円の半径を $r$ とすると $r^2=16-d^2$．$r^2=12$ より $d=2$．よって $|7-k|=6$ で $k=1,\,13$
(2) 共有点をもたない条件は $d>4$，すなわち $|7-k|>12$．よって $k<-5$，$19<k$
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