空間の直線が平面と交わる点・球面と接する条件（B）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 空間の直線が平面と交わる点・球面と接する条件（A） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
点 $\mathrm{A}(0,\,0,\,4)$ を通り，ベクトル $\vec{d}=(1,\,1,\,k)$ に平行な直線を $\ell$ とする（$k$ は実数）．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $k=2$ のとき，$\ell$ と $xy$ 平面の交点の座標を求めよ．
\item[(2)] $\ell$ が球面 $x^2+y^2+z^2=4$ に接するような $k$ の値を求めよ．また，$k>0$ のときの接点の座標を求めよ．
\end{enumerate}
$\ell$ 上の点は $(t,\,t,\,4+kt)$ と表せる．
(1) $k=2$ のとき $z=4+2t=0$ より $t=-2$．交点は $(-2,\,-2,\,0)$
(2) 球面の方程式に代入して
\[ 2t^2+(4+kt)^2=4 \quad\text{すなわち}\quad (k^2+2)t^2+8kt+12=0 \]
$k^2+2>0$ であるから，これは $t$ の 2 次方程式である．$\ell$ と球面が接する条件は，この 2 次方程式が重解をもつことである．判別式を $D$ とすると
\[ \frac{D}{4}=16k^2-12(k^2+2)=4k^2-24=0 \quad\text{より}\quad k=\pm\sqrt{6} \]
$k=\sqrt{6}$ のとき重解は $t=-\dfrac{4k}{k^2+2}=-\dfrac{4\sqrt{6}}{8}=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}$．接点は
\[ \left(-\frac{\sqrt{6}}{2},\,-\frac{\sqrt{6}}{2},\,4-3\right)=\left(-\frac{\sqrt{6}}{2},\,-\frac{\sqrt{6}}{2},\,1\right) \]
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