空間の直線が平面と交わる点・球面と接する条件（A）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 空間の直線が平面と交わる点・球面と接する条件（B） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
点 $\mathrm{A}(1,\,1,\,0)$ を通り，ベクトル $\vec{d}=(1,\,0,\,1)$ に平行な直線を $\ell$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\ell$ と平面 $x+y+z=6$ の交点の座標を求めよ．
\item[(2)] 原点を中心とする半径 $r$ の球面 $x^2+y^2+z^2=r^2$ が $\ell$ に接するような $r$ の値と，そのときの接点の座標を求めよ．
\end{enumerate}
$\ell$ 上の点は $(1+t,\,1,\,t)$ と表せる．
(1) $(1+t)+1+t=6$ より $t=2$．交点は $(3,\,1,\,2)$
(2) 球面の方程式に代入すると
\[ (1+t)^2+1+t^2=r^2 \quad\text{すなわち}\quad 2t^2+2t+2-r^2=0 \]
$\ell$ と球面が接するのは，この $t$ の 2 次方程式が重解をもつときである．判別式を $D$ とすると
\[ \frac{D}{4}=1-2(2-r^2)=2r^2-3=0 \quad\text{より}\quad r=\frac{\sqrt{6}}{2}\ (r>0) \]
このとき重解は $t=-\dfrac{1}{2}$ で，接点は $\left(\dfrac{1}{2},\,1,\,-\dfrac{1}{2}\right)$
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