2直線の交わり・ねじれの判定（B）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 2直線の交わり・ねじれの判定（A） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
$x$ 軸を $\ell$ とし，点 $(0,\,1,\,1)$ を通り方向ベクトル $(1,\,1,\,0)$ をもつ直線を $m$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\ell$ と $m$ はねじれの位置にあることを示せ．
\item[(2)] $\ell$ 上の点 $\mathrm{P}$ と $m$ 上の点 $\mathrm{Q}$ について，線分 $\mathrm{PQ}$ の長さの最小値と，そのときの $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$ の座標を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $\ell$ の方向ベクトル $(1,\,0,\,0)$ と $m$ の方向ベクトル $(1,\,1,\,0)$ は平行でない．また $m$ 上の点は $(s,\,1+s,\,1)$ で $z$ 座標がつねに $1$ であるから，$x$ 軸（$z=0$）と共有点をもたない．よって $\ell$ と $m$ は平行でなく交わらないから，ねじれの位置にある．
(2) $\mathrm{P}(t,\,0,\,0)$，$\mathrm{Q}(s,\,1+s,\,1)$ とすると $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(s-t,\,1+s,\,1)$
\[ \mathrm{PQ}^2=(s-t)^2+(1+s)^2+1\geqq 1 \]
等号は $s-t=0$ かつ $1+s=0$，すなわち $s=t=-1$ のときに成り立つ．よって $\mathrm{PQ}$ の最小値は $1$ で，そのとき $\mathrm{P}(-1,\,0,\,0)$，$\mathrm{Q}(-1,\,0,\,1)$
（このとき $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(0,\,0,\,1)$ は $\ell$，$m$ の両方に垂直である．）
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