2直線の交わり・ねじれの判定（A）

(1) $\ell$ 上の点は $(1+s,\,2+2s,\,3-s)$，$m$ 上の点は $(1+t,\,5-t,\,2t)$ と表せる．一致する条件は \[ 1+s=1+t,\quad 2+2s=5-t,\quad 3-s=2t \] 第 1 式から $s=t$，第 2 式から $3s=3$ で $s=t=1$．このとき第 3 式も $2=2$ で成り立つ．よって 2 直線は交わり，交点は $(2,\,4,\,2)$ (2) 方向ベクトル $\vec{d_1}=(1,\,2,\,-1)$，$\vec{d_2}=(1,\,-1,\,2)$ のなす角を $\alpha$ とすると \[ \cos\alpha=\frac{1-2-2}{\sqrt{6}\sqrt{6}}=-\frac{1}{2} \] $0^\circ\leqq\alpha\leqq 180^\circ$ であるから $\alpha=120^\circ$．2 直線のなす角は $\theta=180^\circ-120^\circ=60^\circ$ (3) 法線ベクトル $\vec{n}=(a,\,b,\,c)$ は $\vec{d_1}$，$\vec{d_2}$ に垂直であるから \[ a+2b-c=0,\qquad a-b+2c=0 \] 2 式を引いて $3b-3c=0$ で $b=c$，$a=-b$．$\vec{n}=(-1,\,1,\,1)$ とし，交点 $(2,\,4,\,2)$ を通るから \[ -(x-2)+(y-4)+(z-2)=0 \quad\text{すなわち}\quad x-y-z+4=0 \]