2平面の法線ベクトルでなす角を求める（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 2平面の法線ベクトルでなす角を求める（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 2 平面 $x+2y+2z=3$，$2x-2y+z=5$ のなす角を求めよ．
\item[(2)] 平面 $x-y+\sqrt{2}z=4$ と $xy$ 平面のなす角 $\theta$（$0^\circ\leqq\theta\leqq 90^\circ$）を求めよ．
\end{enumerate}
2 平面のなす角は，法線ベクトルのなす角またはその補角のうち $90^\circ$ 以下のものである．
(1) 法線ベクトル $(1,\,2,\,2)$，$(2,\,-2,\,1)$ の内積は $2-4+2=0$ であるから，2 平面は垂直に交わる．なす角は $90^\circ$
(2) 法線ベクトル $\vec{n_1}=(1,\,-1,\,\sqrt{2})$ と $xy$ 平面の法線ベクトル $\vec{n_2}=(0,\,0,\,1)$ について
\[ \cos\theta=\frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}=\frac{\sqrt{2}}{2} \]
よって $\theta=45^\circ$
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