平面に下ろした垂線の足と点と平面の距離（A）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 平面に下ろした垂線の足と点と平面の距離（B） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
点 $\mathrm{P}(3,\,1,\,2)$ と平面 $\alpha:x+2y-2z=4$ について，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\mathrm{P}$ から $\alpha$ に下ろした垂線の足 $\mathrm{H}$ の座標を求めよ．
\item[(2)] 点 $\mathrm{P}$ と平面 $\alpha$ の距離を求めよ．
\item[(3)] 平面 $\alpha$ に関して $\mathrm{P}$ と対称な点 $\mathrm{P'}$ の座標を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $\alpha$ の法線ベクトルは $\vec{n}=(1,\,2,\,-2)$ である．$\overrightarrow{\mathrm{PH}}\parallel\vec{n}$ より $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+t\vec{n}=(3+t,\,1+2t,\,2-2t)$ とおける．$\mathrm{H}$ は $\alpha$ 上にあるから
\[ (3+t)+2(1+2t)-2(2-2t)=4 \quad\text{より}\quad 9t+1=4,\ t=\frac{1}{3} \]
よって $\mathrm{H}\left(\dfrac{10}{3},\,\dfrac{5}{3},\,\dfrac{4}{3}\right)$
(2) $\mathrm{PH}=|t||\vec{n}|=\dfrac{1}{3}\cdot 3=1$
（公式 $\dfrac{|3+2-4-4|}{\sqrt{1+4+4}}=\dfrac{3}{3}=1$ と一致する．）
(3) $\mathrm{H}$ は $\mathrm{PP'}$ の中点であるから $\overrightarrow{\mathrm{OP'}}=2\overrightarrow{\mathrm{OH}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\left(\dfrac{11}{3},\,\dfrac{7}{3},\,\dfrac{2}{3}\right)$
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