法線ベクトルから平面の方程式を求める（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 法線ベクトルから平面の方程式を求める（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
次の平面の方程式を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 3 点 $\mathrm{A}(1,\,1,\,0)$，$\mathrm{B}(2,\,0,\,1)$，$\mathrm{C}(0,\,1,\,2)$ を通る平面
\item[(2)] 点 $(2,\,-1,\,3)$ を通り，平面 $x-2y+2z=1$ に平行な平面
\end{enumerate}
(1) 法線ベクトルを $\vec{n}=(a,\,b,\,c)$ とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1,\,-1,\,1)$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-1,\,0,\,2)$ に垂直であるから
\[ a-b+c=0,\qquad -a+2c=0 \]
$a=2c$，$b=a+c=3c$．$c=1$ として $\vec{n}=(2,\,3,\,1)$．点 $\mathrm{A}$ を通るから
\[ 2(x-1)+3(y-1)+z=0 \quad\text{すなわち}\quad 2x+3y+z=5 \]
(2) 平行な平面は法線ベクトル $(1,\,-2,\,2)$ を共有するから，$x-2y+2z=d$ とおける．点 $(2,\,-1,\,3)$ を通るから $d=2+2+6=10$．よって $x-2y+2z=10$
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