法線ベクトルから平面の方程式を求める（A）

(1) 平面上の点を $\mathrm{P}(x,\,y,\,z)$ とすると $\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}=0$ より \[ 2(x-1)+(y+2)-(z-3)=0 \quad\text{すなわち}\quad 2x+y-z+3=0 \] (2) 求める平面を $ax+by+cz+d=0$ とする．3 点を通るから \[ a+d=0,\quad 2b+d=0,\quad 3c+d=0 \] よって $a=-d$，$b=-\dfrac{d}{2}$，$c=-\dfrac{d}{3}$．$d=0$ とすると $a=b=c=0$ となり平面を表さないから，$d\neq 0$ である．これらを代入して，両辺を $-\dfrac{d}{6}$ で割ると \[ 6x+3y+2z-6=0 \] （$\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1$ と同じ．）