点から平面までの距離（成分で計算）（B）

(1) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-1,\,2,\,0)$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-1,\,0,\,3)$．$\vec{n}=(x,\,y,\,z)$ とすると $-x+2y=0$，$-x+3z=0$ より $y=\dfrac{x}{2}$，$z=\dfrac{x}{3}$．$x=6$ として $\vec{n}=(6,\,3,\,2)$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ は平行でないから，その両方に垂直な $\vec{n}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ に垂直である．$\mathrm{D}$ から平面 $\mathrm{ABC}$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とすると，$\overrightarrow{\mathrm{HD}}$ も平面 $\mathrm{ABC}$ に垂直であるから，$\overrightarrow{\mathrm{HD}}$ は $\vec{n}$ に平行である． $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ と $\vec{n}$ のなす角を $\theta$ とすると，$\triangle\mathrm{AHD}$ は $\angle\mathrm{AHD}=90^\circ$ の直角三角形であるから \[ h=\mathrm{DH}=|\overrightarrow{\mathrm{AD}}||\cos\theta|=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{AD}}||\vec{n}||\cos\theta|}{|\vec{n}|}=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|} \] $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=(1,\,2,\,3)$，$|\vec{n}|=\sqrt{6^2+3^2+2^2}=7$ より \[ h=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|6+6+6|}{7}=\frac{18}{7} \] (3) $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2=5$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^2=10$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=1$ より \[ \triangle\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{5\cdot 10-1^2}=\frac{7}{2} \] よって体積は $\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{7}{2}\cdot\dfrac{18}{7}=3$