点から平面までの距離（成分で計算）（A）

$\mathrm{H}$ は平面 $\alpha$ 上にあるから，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ とおける．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-2,\,1,\,0)$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-2,\,0,\,1)$，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(-1,\,4,\,1)$ より \[ \overrightarrow{\mathrm{PH}}=\overrightarrow{\mathrm{AH}}-\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(-2s-2t+1,\,s-4,\,t-1) \] $\overrightarrow{\mathrm{PH}}\perp\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PH}}\perp\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ より \[ -2(-2s-2t+1)+(s-4)=0 \quad\text{すなわち}\quad 5s+4t=6 \] \[ -2(-2s-2t+1)+(t-1)=0 \quad\text{すなわち}\quad 4s+5t=3 \] 2 式を加えて $s+t=1$，引いて $s-t=3$．よって $s=2$，$t=-1$ $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(2-4+2,\,2,\,-1)$ より $\mathrm{H}(0,\,2,\,-1)$ $\overrightarrow{\mathrm{PH}}=(-1,\,-2,\,-2)$ より $\mathrm{PH}=3$