平面に下ろした垂線の足と四面体の体積（B）

$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$，$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{c}\cdot\vec{a}=\dfrac{1}{2}$ である． (1) $\mathrm{H}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ 上にあるから，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}$，$s+t+u=1$ とおける．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\perp\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ より \[ (s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c})\cdot(\vec{b}-\vec{a})=\left(\frac{s}{2}+t+\frac{u}{2}\right)-\left(s+\frac{t}{2}+\frac{u}{2}\right)=\frac{t-s}{2}=0 \] よって $s=t$．同様に $\overrightarrow{\mathrm{OH}}\perp\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ から $s=u$．$s+t+u=1$ より $s=t=u=\dfrac{1}{3}$ したがって $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$（$\mathrm{H}$ は $\triangle\mathrm{ABC}$ の重心） (2) \[ |\overrightarrow{\mathrm{OH}}|^2=\frac{1}{9}\left\{3+2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)\right\}=\frac{6}{9} \] $|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|\geqq 0$ であるから $\mathrm{OH}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$．$\triangle\mathrm{ABC}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ であるから，体積は \[ \frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{18}}{36}=\frac{\sqrt{2}}{12} \]