平面に下ろした垂線の足と四面体の体積（A）

(1) $\mathrm{H}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ 上にあるから，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$s+t+u=1$ とおける． \[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=(2s,\,4t,\,4u) \] $\overrightarrow{\mathrm{OH}}\perp\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\perp\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ である．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-2,\,4,\,0)$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-2,\,0,\,4)$ より \[ -4s+16t=0,\qquad -4s+16u=0 \] よって $t=u=\dfrac{s}{4}$．$s+t+u=1$ より $\dfrac{3}{2}s=1$，$s=\dfrac{2}{3}$，$t=u=\dfrac{1}{6}$ したがって $\mathrm{H}\left(\dfrac{4}{3},\,\dfrac{2}{3},\,\dfrac{2}{3}\right)$，$\mathrm{OH}=\dfrac{\sqrt{16+4+4}}{3}=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$ (2) 四面体 $\mathrm{OABC}$ の体積は $V=\dfrac{1}{3}\cdot\left(\dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 4\right)\cdot 4=\dfrac{16}{3}$ また $V=\dfrac{1}{3}\triangle\mathrm{ABC}\cdot\mathrm{OH}$ であるから \[ \triangle\mathrm{ABC}=\frac{3V}{\mathrm{OH}}=\frac{16}{\frac{2\sqrt{6}}{3}}=\frac{24}{\sqrt{6}}=4\sqrt{6} \]