四面体の対辺が垂直であることの証明（B）

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}$ とすると \[ \mathrm{AB}^2+\mathrm{OC}^2-\mathrm{AC}^2-\mathrm{OB}^2=|\vec{b}-\vec{a}|^2+|\vec{c}|^2-|\vec{c}-\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2 \] \[ =(|\vec{b}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{a}|^2)+|\vec{c}|^2-(|\vec{c}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{c}+|\vec{a}|^2)-|\vec{b}|^2=2\vec{a}\cdot(\vec{c}-\vec{b}) \] $\vec{c}-\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ であるから \[ \mathrm{AB}^2+\mathrm{OC}^2-\mathrm{AC}^2-\mathrm{OB}^2=2\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}} \] よって，$\mathrm{AB}^2+\mathrm{OC}^2=\mathrm{AC}^2+\mathrm{OB}^2$ であることは，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=0$ であることと同値である． $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\neq\vec{0}$，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}\neq\vec{0}$ であるから，これは $\mathrm{OA}\perp\mathrm{BC}$ であることと同値である． \hfill 終