四面体の対辺が垂直であることの証明（A）

$\mathrm{A}$ を始点とし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\vec{d}$ とする． $\mathrm{AB}\perp\mathrm{CD}$ より $\vec{b}\cdot(\vec{d}-\vec{c})=0$，すなわち $\vec{b}\cdot\vec{d}=\vec{b}\cdot\vec{c}$ …① $\mathrm{AC}\perp\mathrm{BD}$ より $\vec{c}\cdot(\vec{d}-\vec{b})=0$，すなわち $\vec{c}\cdot\vec{d}=\vec{b}\cdot\vec{c}$ …② ①，② より $\vec{b}\cdot\vec{d}=\vec{c}\cdot\vec{d}$ であるから \[ \overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\vec{d}\cdot(\vec{c}-\vec{b})=\vec{c}\cdot\vec{d}-\vec{b}\cdot\vec{d}=0 \] $\overrightarrow{\mathrm{AD}}\neq\vec{0}$，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}\neq\vec{0}$ であるから $\mathrm{AD}\perp\mathrm{BC}$ \hfill 終