座標空間の直線と平面の交点（B）

(1) $\mathrm{Q}$ は直線 $\mathrm{OD}$ 上にあるから，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{OD}}=(k,\,k,\,k)$ となる実数 $k$ がある．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1,\,1,\,-1)$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-1,\,2,\,0)$ であり，$\mathrm{Q}$ が平面 $\alpha$ 上にあることから \[ (k,\,k,\,k)=(1,\,0,\,1)+s(1,\,1,\,-1)+t(-1,\,2,\,0)=(1+s-t,\,s+2t,\,1-s) \] 成分を比較して \[ k=1+s-t,\qquad k=s+2t,\qquad k=1-s \] 第 3 式から $s=1-k$．第 2 式に代入して $t=\dfrac{2k-1}{2}$．第 1 式に代入して \[ k=2-k-\frac{2k-1}{2} \quad\text{より}\quad 6k=5,\ k=\frac{5}{6} \] よって $\mathrm{Q}\left(\dfrac{5}{6},\,\dfrac{5}{6},\,\dfrac{5}{6}\right)$ (2) $s=1-k=\dfrac{1}{6}$，$t=\dfrac{2k-1}{2}=\dfrac{1}{3}$ であるから $\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$