座標空間の直線と平面の交点（A）

$\mathrm{Q}$ は直線 $\mathrm{OD}$ 上にあるから $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{OD}}=(k,\,k,\,k)$ とおける． $\mathrm{Q}$ は平面 $\alpha$ 上にあるから，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ となる実数 $s$，$t$ がある．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-2,\,4,\,0)$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-2,\,0,\,2)$ より \[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(2-2s-2t,\,4s,\,2t) \] 成分を比較して \[ 2-2s-2t=k,\qquad 4s=k,\qquad 2t=k \] $s=\dfrac{k}{4}$，$t=\dfrac{k}{2}$ を第 1 式に代入して $2-\dfrac{k}{2}-k=k$．よって $k=\dfrac{4}{5}$ したがって $\mathrm{Q}\left(\dfrac{4}{5},\,\dfrac{4}{5},\,\dfrac{4}{5}\right)$