四面体の線分と平面の交点（B）

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\dfrac{2}{3}\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\dfrac{1}{2}\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=\dfrac{1}{3}\vec{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$ である． $\mathrm{P}$ は直線 $\mathrm{OG}$ 上にあるから $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\dfrac{k}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$ とおける．これを $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$ で表すと \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{k}{2}\overrightarrow{\mathrm{OD}}+\frac{2k}{3}\overrightarrow{\mathrm{OE}}+k\overrightarrow{\mathrm{OF}} \] $\mathrm{P}$ は平面 $\mathrm{DEF}$ 上にあるから，係数の和が 1 である． \[ \frac{k}{2}+\frac{2k}{3}+k=\frac{13k}{6}=1 \quad\text{より}\quad k=\frac{6}{13} \] よって $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{2}{13}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$ また $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{6}{13}\overrightarrow{\mathrm{OG}}$ より $\mathrm{OP}:\mathrm{PG}=6:7$