四面体の線分と平面の交点（A）

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{1}{2}\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\dfrac{\vec{b}+2\vec{c}}{3}$ であるから \[ \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{\vec{b}+2\vec{c}}{3}\right)=\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{1}{6}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c} \] $\mathrm{S}$ は直線 $\mathrm{OR}$ 上にあるから，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}=k\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\dfrac{k}{4}\vec{a}+\dfrac{k}{6}\vec{b}+\dfrac{k}{3}\vec{c}$ と表せる． $\mathrm{S}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ 上にあるから，係数の和が 1 である． \[ \frac{k}{4}+\frac{k}{6}+\frac{k}{3}=1 \quad\text{より}\quad \frac{3k}{4}=1,\ k=\frac{4}{3} \] よって $\overrightarrow{\mathrm{OS}}=\dfrac{1}{3}\vec{a}+\dfrac{2}{9}\vec{b}+\dfrac{4}{9}\vec{c}$