4点が1つの平面上にあることを示す（B）

$\mathrm{A}$ を始点とし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\vec{d}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\vec{e}$ とすると \[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{1}{2}\vec{b},\quad \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{d},\quad \overrightarrow{\mathrm{AR}}=\vec{b}+\vec{d}+\frac{1}{2}\vec{e},\quad \overrightarrow{\mathrm{AS}}=\frac{1}{2}\vec{e} \] よって \[ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2},\quad \overrightarrow{\mathrm{PS}}=\frac{-\vec{b}+\vec{e}}{2},\quad \overrightarrow{\mathrm{PR}}=\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{d}+\frac{1}{2}\vec{e} \] $\overrightarrow{\mathrm{PR}}=s\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+t\overrightarrow{\mathrm{PS}}$ とおいて 4 点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$ は同じ平面上にないから，$\vec{b}$，$\vec{d}$，$\vec{e}$ の係数を比較すると \[ \frac{1}{2}=\frac{s-t}{2},\qquad 1=\frac{s}{2},\qquad \frac{1}{2}=\frac{t}{2} \] これは $s=2$，$t=1$ で満たされる．よって $\overrightarrow{\mathrm{PR}}=2\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{PS}}$ と表せ，4 点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$ は同じ平面上にある． \hfill 終 （実際，辺 $\mathrm{GH}$，$\mathrm{HE}$ の中点もこの平面上にあり，6 つの中点は六角形をつくる．）