4点が1つの平面上にあることを示す（A）

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}$ とすると \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{\vec{a}}{2},\quad \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2},\quad \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2},\quad \overrightarrow{\mathrm{OS}}=\frac{\vec{c}}{2} \] よって \[ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{\vec{b}}{2},\quad \overrightarrow{\mathrm{PS}}=\frac{\vec{c}-\vec{a}}{2},\quad \overrightarrow{\mathrm{PR}}=\frac{-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{2} \] したがって $\overrightarrow{\mathrm{PR}}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\overrightarrow{\mathrm{PS}}$ が成り立つ．4 点 $\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$ は同じ平面上にないから，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{PS}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ は平行でない．よって，点 $\mathrm{R}$ は 3 点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{S}$ を含む平面上にある． よって 4 点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$ は同じ平面上にある． \hfill 終 （さらに $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{SR}}$ であるから，四角形 $\mathrm{PQRS}$ は平行四辺形である．）