4点が同じ平面上にある条件（B）

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1,\,-1,\,1)$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-1,\,0,\,2)$ は平行でないから，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$ は一直線上にない．$\mathrm{D}$ が平面 $\mathrm{ABC}$ 上にある条件は，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ となる実数 $s$，$t$ が存在することである．$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=(a-1,\,1,\,3)$ より \[ a-1=s-t,\qquad 1=-s,\qquad 3=s+2t \] 第 2 式から $s=-1$，第 3 式から $t=2$．よって $a-1=-3$ で $a=-2$