4点が同じ平面上にある条件（A）

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-1,\,2,\,0)$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-1,\,0,\,3)$ は平行でないから，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$ は一直線上にない．よって，$\mathrm{P}$ が平面 $\mathrm{ABC}$ 上にある条件は \[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}} \] となる実数 $s$，$t$ が存在することである．$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(x-1,\,1,\,1)$ より \[ x-1=-s-t,\qquad 1=2s,\qquad 1=3t \] よって $s=\dfrac{1}{2}$，$t=\dfrac{1}{3}$ で，$x=1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$