空間の直線に下ろした垂線の足と対称点（B）

(1) $\overrightarrow{\mathrm{CD}}=(4,\,2,\,-4)=2(2,\,1,\,-2)$ であるから，$\vec{d}=(2,\,1,\,-2)$ を方向ベクトルとする．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+t\vec{d}=(2t,\,1+t,\,-1-2t)$ とおくと \[ \overrightarrow{\mathrm{PH}}=(2t-3,\,t-3,\,-2t) \] $\overrightarrow{\mathrm{PH}}\cdot\vec{d}=0$ より $2(2t-3)+(t-3)+4t=0$，すなわち $9t-9=0$ で $t=1$ よって $\mathrm{H}(2,\,2,\,-3)$，$\overrightarrow{\mathrm{PH}}=(-1,\,-2,\,-2)$ より $\mathrm{PH}=3$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{OP'}}=2\overrightarrow{\mathrm{OH}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1,\,0,\,-5)$．$\mathrm{P'}(1,\,0,\,-5)$ (3) $\mathrm{CD}=|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|=\sqrt{16+4+16}=6$ で，$\mathrm{PH}$ は $\triangle\mathrm{PCD}$ の底辺 $\mathrm{CD}$ に対する高さであるから \[ \triangle\mathrm{PCD}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3=9 \]