空間の直線に下ろした垂線の足と対称点（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 空間の直線に下ろした垂線の足と対称点（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
2 点 $\mathrm{A}(1,\,1,\,0)$，$\mathrm{B}(2,\,3,\,2)$ を通る直線を $\ell$ とし，点 $\mathrm{P}(1,\,4,\,6)$ をとる．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\mathrm{P}$ から $\ell$ に下ろした垂線の足 $\mathrm{H}$ の座標を求めよ．
\item[(2)] 点 $\mathrm{P}$ と直線 $\ell$ の距離を求めよ．
\item[(3)] 直線 $\ell$ に関して $\mathrm{P}$ と対称な点 $\mathrm{P'}$ の座標を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $\vec{d}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1,\,2,\,2)$ とする．$\mathrm{H}$ は $\ell$ 上にあるから $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\vec{d}=(1+t,\,1+2t,\,2t)$ とおける．
\[ \overrightarrow{\mathrm{PH}}=(t,\,-3+2t,\,-6+2t) \]
$\overrightarrow{\mathrm{PH}}\perp\vec{d}$ より $t+2(-3+2t)+2(-6+2t)=0$，すなわち $9t-18=0$ で $t=2$
よって $\mathrm{H}(3,\,5,\,4)$
(2) $\overrightarrow{\mathrm{PH}}=(2,\,1,\,-2)$ より $\mathrm{PH}=\sqrt{4+1+4}=3$
(3) $\mathrm{H}$ は線分 $\mathrm{PP'}$ の中点であるから $\overrightarrow{\mathrm{OP'}}=2\overrightarrow{\mathrm{OH}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(5,\,6,\,2)$．$\mathrm{P'}(5,\,6,\,2)$
⭐ お気に入り 0
ログインするとお気に入り・印刷リスト・PDF出力が使えます