四面体で中点・重心を結ぶ図形の性質（B）

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}$ とすると \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{3}\vec{a},\quad \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{3},\quad \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{6} \] よって \[ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3},\qquad \overrightarrow{\mathrm{PR}}=\frac{-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{6}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \] したがって 3 点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{Q}$ は一直線上にあり，$\mathrm{R}$ は線分 $\mathrm{PQ}$ の中点である．$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}=1:1$