四面体で中点・重心を結ぶ図形の性質（A）

点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$ の位置ベクトルを $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$，$\vec{d}$ とすると \[ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}-\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}=\frac{\vec{c}-\vec{a}}{2},\qquad \overrightarrow{\mathrm{SR}}=\frac{\vec{c}+\vec{d}}{2}-\frac{\vec{d}+\vec{a}}{2}=\frac{\vec{c}-\vec{a}}{2} \] よって $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{SR}}$ であり，$\mathrm{PQ}\parallel\mathrm{SR}$，$\mathrm{PQ}=\mathrm{SR}$．また，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PS}}=\dfrac{\vec{d}-\vec{b}}{2}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BD}}$ であり，4 点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$ は同じ平面上にないから，2 直線 $\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$ は平行でない．よって，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{PS}}$ は平行でなく，4 点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$ は一直線上にないから，四角形 $\mathrm{PQRS}$ は平行四辺形である． \hfill 終