四面体で線分の長さとなす角を内積で求める（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 四面体で線分の長さとなす角を内積で求める（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
四面体 $\mathrm{OABC}$ において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$，$\angle\mathrm{AOB}=\angle\mathrm{AOC}=60^\circ$，$\angle\mathrm{BOC}=90^\circ$ とする．$\triangle\mathrm{ABC}$ の重心を $\mathrm{G}$ とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 線分 $\mathrm{OG}$ の長さを求めよ．
\item[(2)] $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OG}}$ のなす角を $\theta$ とするとき，$\cos\theta$ を求めよ．
\end{enumerate}
$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$ であり，$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}=1\cdot 1\cdot\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}$，$\vec{b}\cdot\vec{c}=1\cdot 1\cdot\cos 90^\circ=0$ である．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$ より
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OG}}|^2=\frac{1}{9}\left\{3+2\left(\frac{1}{2}+0+\frac{1}{2}\right)\right\}=\frac{5}{9} \]
$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|\geqq 0$ であるから $\mathrm{OG}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\dfrac{1}{3}\left(|\vec{a}|^2+\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}\right)=\dfrac{1}{3}\cdot 2=\dfrac{2}{3}$ であるから
\[ \cos\theta=\frac{\frac{2}{3}}{1\cdot\frac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{2}{\sqrt{5}} \]
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