四面体で線分の長さとなす角を内積で求める（A）

正四面体であるから $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$，$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{c}=\vec{c}\cdot\vec{a}=1\cdot 1\cdot\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}$ (1) $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\dfrac{1}{2}\vec{c}-\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2}=\dfrac{1}{2}(\vec{c}-\vec{a}-\vec{b})$ であるから \[ |\overrightarrow{\mathrm{MN}}|^2=\frac{1}{4}\left(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}-2\vec{b}\cdot\vec{c}-2\vec{c}\cdot\vec{a}\right)=\frac{1}{4}(3+1-1-1)=\frac{1}{2} \] $|\overrightarrow{\mathrm{MN}}|\geqq 0$ であるから $\mathrm{MN}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (2) $\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$，$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\dfrac{\vec{c}}{2}$ より \[ \overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}}{4}=\frac{1}{4},\quad |\overrightarrow{\mathrm{OM}}|=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad |\overrightarrow{\mathrm{ON}}|=\frac{1}{2} \] よって $\cos\angle\mathrm{MON}=\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$