ベクトルの等式を満たす点の位置（B）

(1) $\mathrm{A}$ を始点とし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\vec{d}$，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\vec{p}$ とすると \[ -2\vec{p}+(\vec{b}-\vec{p})+(\vec{c}-\vec{p})+(\vec{d}-\vec{p})=\vec{0} \quad\text{より}\quad \vec{p}=\frac{\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{5}=\frac{3}{5}\cdot\frac{\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{3} \] $\dfrac{\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{3}$ は $\triangle\mathrm{BCD}$ の重心 $\mathrm{G}$ を表すから，$\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AG}$ を $3:2$ に内分する点である． (2) 底面 $\triangle\mathrm{BCD}$ が共通で，$\mathrm{G}$ は平面 $\mathrm{BCD}$ 上にあるから，$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$ から平面 $\mathrm{BCD}$ までの距離（高さ）の比は $\mathrm{PG}:\mathrm{AG}=2:5$ である． よって，四面体 $\mathrm{PBCD}$ と四面体 $\mathrm{ABCD}$ の体積比は $2:5$