ベクトルの等式を満たす点の位置（A）

(1) $\mathrm{A}$ を始点とし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\vec{d}$，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\vec{p}$ とすると \[ -\vec{p}+(\vec{b}-\vec{p})+(\vec{c}-\vec{p})+3(\vec{d}-\vec{p})=\vec{0} \quad\text{より}\quad \vec{p}=\frac{\vec{b}+\vec{c}+3\vec{d}}{6} \] ここで，辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とすると $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\dfrac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$ で \[ \vec{p}=\frac{5}{6}\cdot\frac{2\overrightarrow{\mathrm{AM}}+3\vec{d}}{5} \] $\dfrac{2\overrightarrow{\mathrm{AM}}+3\vec{d}}{5}$ は線分 $\mathrm{MD}$ を $3:2$ に内分する点 $\mathrm{Q}$ を表す．よって $\mathrm{P}$ は，辺 $\mathrm{BC}$ の中点 $\mathrm{M}$ と $\mathrm{D}$ を結ぶ線分を $3:2$ に内分する点 $\mathrm{Q}$ に対し，線分 $\mathrm{AQ}$ を $5:1$ に内分する点である． (2) 四面体 $\mathrm{PBCD}$ と $\mathrm{ABCD}$ は底面 $\triangle\mathrm{BCD}$ を共有し，$\mathrm{Q}$ は平面 $\mathrm{BCD}$ 上にあるから，$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$ から平面 $\mathrm{BCD}$ までの距離（高さ）の比は $\mathrm{PQ}:\mathrm{AQ}=1:6$ である． よって，四面体 $\mathrm{PBCD}$ と四面体 $\mathrm{ABCD}$ の体積比は $1:6$