内積の不等式を利用した最大・最小（B）

(1) $\vec{p}=(a,\,b,\,c)$，$\vec{q}=(x,\,y,\,z)$ とする．どちらかが $\vec{0}$ のときは両辺とも 0 で成り立つ．そうでないとき，なす角を $\theta$ とすると $\vec{p}\cdot\vec{q}=|\vec{p}||\vec{q}|\cos\theta$ で $\cos^2\theta\leqq 1$ であるから \[ (\vec{p}\cdot\vec{q})^2\leqq|\vec{p}|^2|\vec{q}|^2 \] これを成分で書くと与えられた不等式になる．等号は $\vec{p}$，$\vec{q}$ が平行（または一方が $\vec{0}$）のときに成り立つ． \hfill 終 (2) (1) で $a=b=c=1$ とすると $(x+y+z)^2\leqq 3(x^2+y^2+z^2)$ 等号は $(1,1,1)$ と $(x,y,z)$ が平行（または $(x,y,z)=\vec{0}$）のとき，すなわち $x=y=z$ のときに成り立つ． (3) (2) より $36\leqq 3(x^2+y^2+z^2)$，すなわち $x^2+y^2+z^2\geqq 12$．等号は $x=y=z=2$ のときに成り立つから，最小値は $12$