x, y, z 軸とベクトルがつくる角の余弦（B）

$\vec{p}$ が $z$ 軸の正の向きとなす角を $\gamma\ (0^\circ\leqq\gamma\leqq 180^\circ)$ とする．$x$ 軸，$y$ 軸，$z$ 軸の正の向きの単位ベクトルを $\vec{e_1}=(1,0,0)$，$\vec{e_2}=(0,1,0)$，$\vec{e_3}=(0,0,1)$ とし，$\vec{p}=(p_1,\,p_2,\,p_3)$ とすると \[ p_1=\vec{p}\cdot\vec{e_1}=|\vec{p}||\vec{e_1}|\cos 60^\circ=4\cos 60^\circ \] $\vec{p}\cdot\vec{e_2}$，$\vec{p}\cdot\vec{e_3}$ についても同じように考えて $p_2=4\cos 45^\circ$，$p_3=4\cos\gamma$ よって，$\vec{p}=4(\cos 60^\circ,\,\cos 45^\circ,\,\cos\gamma)$ と表せる．$|\vec{p}|=4$ であるから \[ \cos^2 60^\circ+\cos^2 45^\circ+\cos^2\gamma=1 \quad\text{より}\quad \frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\cos^2\gamma=1 \] よって $\cos\gamma=\pm\dfrac{1}{2}$ で，$\gamma=60^\circ$ または $120^\circ$ したがって \[ \vec{p}=(2,\,2\sqrt{2},\,2)\ \ (\gamma=60^\circ),\qquad \vec{p}=(2,\,2\sqrt{2},\,-2)\ \ (\gamma=120^\circ) \]