ベクトルの大きさの関係式の証明（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: ベクトルの大きさの関係式の証明（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 空間の任意のベクトル $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ について，次の等式を証明せよ．
\[ |\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}) \]
\item[(2)] $|\vec{a}|=2$，$|\vec{b}|=3$，$|\vec{c}|=4$，$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ のとき，$\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}$ および $\vec{a}\cdot\vec{b}$ の値を求めよ．
\end{enumerate}
(1) 内積の分配法則により
\[ |\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2=(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\cdot(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+2\vec{b}\cdot\vec{c}+2\vec{c}\cdot\vec{a} \]
\hfill 終
(2) (1) で左辺が 0 であるから
\[ 0=4+9+16+2(\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}) \quad\text{より}\quad \vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a}=-\frac{29}{2} \]
また $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$ より $|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{c}|^2$，すなわち $4+2\vec{a}\cdot\vec{b}+9=16$．よって $\vec{a}\cdot\vec{b}=\dfrac{3}{2}$
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