ベクトルの大きさの関係式の証明（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: ベクトルの大きさの関係式の証明（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 空間の任意のベクトル $\vec{a}$，$\vec{b}$ について，次の等式を証明せよ．
\[ |\vec{a}+\vec{b}|^2+|\vec{a}-\vec{b}|^2=2(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2) \]
\item[(2)] $|\vec{a}|=3$，$|\vec{b}|=2$，$|\vec{a}+\vec{b}|=4$ のとき，$|\vec{a}-\vec{b}|$ と $\vec{a}\cdot\vec{b}$ を求めよ．
\end{enumerate}
(1)
\[ |\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2,\qquad |\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2 \]
辺々加えると $2(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2)$ となる． \hfill 終
（平行四辺形の 2 本の対角線の長さの 2 乗の和は，4 辺の長さの 2 乗の和に等しいことを表す．）
(2) (1) より $16+|\vec{a}-\vec{b}|^2=2(9+4)=26$ であるから $|\vec{a}-\vec{b}|^2=10$
$|\vec{a}-\vec{b}|\geqq 0$ であるから $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{10}$
また $|\vec{a}+\vec{b}|^2=9+2\vec{a}\cdot\vec{b}+4=16$ より $\vec{a}\cdot\vec{b}=\dfrac{3}{2}$
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