2つのベクトルのどちらとも直交する長さ1のベクトル（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 2つのベクトルのどちらとも直交する長さ1のベクトル（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
$\vec{a}=(2,\,1,\,-2)$，$\vec{b}=(1,\,1,\,0)$ について，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\vec{a}$，$\vec{b}$ の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ．
\item[(2)] $\vec{a}$，$\vec{b}$ の両方に垂直で，大きさが $6$ のベクトルを求めよ．
\end{enumerate}
(1) 求める単位ベクトルを $\vec{e}=(x,\,y,\,z)$ とすると
\[ 2x+y-2z=0,\qquad x+y=0 \]
第 2 式から $y=-x$．第 1 式に代入して $x-2z=0$ より $z=\dfrac{x}{2}$．よって $\vec{e}=\left(x,\,-x,\,\dfrac{x}{2}\right)$
$|\vec{e}|^2=\dfrac{9}{4}x^2=1$ より $x=\pm\dfrac{2}{3}$．したがって
\[ \vec{e}=\pm\left(\frac{2}{3},\,-\frac{2}{3},\,\frac{1}{3}\right) \]
(2) (1) の単位ベクトルを 6 倍して $\pm(4,\,-4,\,2)$
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