空間の3点でつくる角と三角形の面積（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 空間の3点でつくる角と三角形の面積（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
原点 $\mathrm{O}$ と 2 点 $\mathrm{A}(2,\,1,\,2)$，$\mathrm{B}(1,\,-1,\,4)$ について，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ のなす角 $\theta$ を求めよ．
\item[(2)] $\triangle\mathrm{OAB}$ の面積 $S$ を，公式 $S=\dfrac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}$ を用いて求めよ．
\end{enumerate}
$\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とすると
\[ \vec{a}\cdot\vec{b}=2-1+8=9,\quad |\vec{a}|=3,\quad |\vec{b}|=\sqrt{18}=3\sqrt{2} \]
(1) $\cos\theta=\dfrac{9}{3\cdot 3\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$0^\circ\leqq\theta\leqq 180^\circ$ であるから $\theta=45^\circ$
(2) $S=\dfrac{1}{2}\sqrt{9\cdot 18-81}=\dfrac{1}{2}\sqrt{81}=\dfrac{9}{2}$
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