図形と成分による空間の内積計算（A）

$\mathrm{A}$ を原点とし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$ の向きをそれぞれ $x$ 軸，$y$ 軸，$z$ 軸の正の向きにとると \[ \mathrm{B}(2,0,0),\ \mathrm{C}(2,2,0),\ \mathrm{D}(0,2,0),\ \mathrm{E}(0,0,2),\ \mathrm{F}(2,0,2),\ \mathrm{G}(2,2,2),\ \mathrm{H}(0,2,2) \] (1) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2,0,0)$，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=(2,0,2)$ より $4$ （$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=2$，$|\overrightarrow{\mathrm{AF}}|=2\sqrt{2}$，なす角 $45^\circ$ から $2\cdot 2\sqrt{2}\cos 45^\circ=4$ としてもよい．） (2) $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(2,2,0)$ より $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AF}}=4$ （$\triangle\mathrm{ACF}$ は正三角形で，なす角は $60^\circ$） (3) $\overrightarrow{\mathrm{AG}}=(2,2,2)$，$\overrightarrow{\mathrm{BH}}=(-2,2,2)$ より $-4+4+4=4$ (4) $\overrightarrow{\mathrm{EG}}=(2,2,0)$，$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=(-2,2,0)$ より $-4+4=0$