成分で表したベクトルの大きさの最小（B）

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(2,\,2,\,4)$ であるから，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(3+2t,\,-1+2t,\,2+4t)$ とおける． \[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2=(3+2t)^2+(-1+2t)^2+(2+4t)^2=24t^2+24t+14=24\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+8 \] $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|\geqq 0$ であるから，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2$ が最小のとき $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$ も最小となる． (1) $t$ はすべての実数をとるから，$t=-\dfrac{1}{2}$ のとき最小．$\mathrm{P}(2,\,-2,\,0)$，最小値 $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ (2) 線分 $\mathrm{AB}$ 上では $0\leqq t\leqq 1$ である．軸 $t=-\dfrac{1}{2}$ はこの範囲の左外にあるから，この範囲で $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2$ は増加する．よって，$t=0$（$\mathrm{P}=\mathrm{A}$）で最小となり，最小値は $\mathrm{OA}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}$