空間の |a+tb| の最小と折れ線の最短（B）

(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\vec{d}=(3+t,\,-2t,\,2t)$ とおくと \[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2=(3+t)^2+4t^2+4t^2=9t^2+6t+9=9\left(t+\frac{1}{3}\right)^2+8 \] $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|\geqq 0$ であるから，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2$ が最小のとき $|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$ も最小となる． よって $t=-\dfrac{1}{3}$ のとき最小で，$\mathrm{P}\left(\dfrac{8}{3},\,\dfrac{2}{3},\,-\dfrac{2}{3}\right)$，最小値は $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ （このとき $\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\vec{d}=\dfrac{8}{3}-\dfrac{4}{3}-\dfrac{4}{3}=0$ で，$\mathrm{OP}\perp\ell$ となっている．） (2) $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ はともに $y>0$ の側にある．$zx$ 平面に関して $\mathrm{A}$ と対称な点 $\mathrm{A'}(1,\,-2,\,1)$ をとると $\mathrm{AQ}=\mathrm{A'Q}$ であるから \[ \mathrm{AQ}+\mathrm{QB}=\mathrm{A'Q}+\mathrm{QB}\geqq\mathrm{A'B}=\sqrt{2^2+6^2+4^2}=2\sqrt{14} \] 等号は $\mathrm{Q}$ が線分 $\mathrm{A'B}$ と $zx$ 平面の交点のときに成り立つ．このとき，$\mathrm{Q}$ は線分 $\mathrm{A'B}$ 上にあるから，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OA'}}+s\overrightarrow{\mathrm{A'B}}\ (0\leqq s\leqq 1)$ となる実数 $s$ がある．$\overrightarrow{\mathrm{A'B}}=(2,\,6,\,4)$ であるから \[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1+2s,\,-2+6s,\,1+4s) \] $\mathrm{Q}$ は $zx$ 平面上にあるから，$y$ 座標が $0$ より $s=\dfrac{1}{3}$ これは $0\leqq s\leqq 1$ を満たす． よって $\mathrm{Q}\left(\dfrac{5}{3},\,0,\,\dfrac{7}{3}\right)$