空間の |a+tb| の最小と折れ線の最短（A）

(1) $\vec{a}+t\vec{b}=(2+t,\,1-t,\,3+t)$ であるから \[ |\vec{a}+t\vec{b}|^2=(2+t)^2+(1-t)^2+(3+t)^2=3t^2+8t+14=3\left(t+\frac{4}{3}\right)^2+\frac{26}{3} \] $|\vec{a}+t\vec{b}|\geqq 0$ であるから，$|\vec{a}+t\vec{b}|^2$ が最小のとき $|\vec{a}+t\vec{b}|$ も最小となる． よって $t=-\dfrac{4}{3}$ のとき最小値 $\sqrt{\dfrac{26}{3}}=\dfrac{\sqrt{78}}{3}$ (2) $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ はともに $z>0$ の側にある．$xy$ 平面に関して $\mathrm{A}$ と対称な点を $\mathrm{A'}(1,\,2,\,-3)$ とすると，$\mathrm{AP}=\mathrm{A'P}$ であるから \[ \mathrm{AP}+\mathrm{PB}=\mathrm{A'P}+\mathrm{PB}\geqq\mathrm{A'B} \] 等号は $\mathrm{P}$ が線分 $\mathrm{A'B}$ と $xy$ 平面の交点のときに成り立つ．$\overrightarrow{\mathrm{A'B}}=(3,\,4,\,4)$ より最小値は \[ \mathrm{A'B}=\sqrt{9+16+16}=\sqrt{41} \] このとき，$\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{A'B}$ 上にあるから，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA'}}+s\overrightarrow{\mathrm{A'B}}\ (0\leqq s\leqq 1)$ となる実数 $s$ がある． \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1+3s,\,2+4s,\,-3+4s) \] $\mathrm{P}$ は $xy$ 平面上にあるから，$z$ 座標が $0$ より $s=\dfrac{3}{4}$ これは $0\leqq s\leqq 1$ を満たす． よって $\mathrm{P}\left(\dfrac{13}{4},\,5,\,0\right)$