空間で平行四辺形をつくる4つ目の点（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 空間で平行四辺形をつくる4つ目の点（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
3 点 $\mathrm{A}(2,\,1,\,-1)$，$\mathrm{B}(3,\,0,\,1)$，$\mathrm{C}(4,\,1,\,1)$ について，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 四角形 $\mathrm{ABCD}$ が平行四辺形となるような点 $\mathrm{D}$ の座標を求めよ．
\item[(2)] (1) の平行四辺形は長方形であることを示し，その面積を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(1,\,1,\,0)$ より $\mathrm{D}(3,\,2,\,-1)$
(2) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1,\,-1,\,2)$，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(1,\,1,\,0)$ であるから
\[ \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=1-1+0=0 \]
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\neq\vec{0}$，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}\neq\vec{0}$ であるから $\mathrm{AB}\perp\mathrm{BC}$
よって，平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ は長方形である．
面積は $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{3}$
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