平行六面体の対角線を3つのベクトルで表す（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 平行六面体の対角線を3つのベクトルで表す（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
平行六面体 $\mathrm{ABCD}\text{-}\mathrm{EFGH}$ において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\vec{c}$ とする．次のベクトルを $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ で表せ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\overrightarrow{\mathrm{AG}}$
\item[(2)] $\overrightarrow{\mathrm{BH}}$
\item[(3)] $\overrightarrow{\mathrm{CE}}$
\item[(4)] $\overrightarrow{\mathrm{DF}}$
\end{enumerate}
平行六面体であるから $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{CG}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\vec{c}$ などが成り立つ．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CG}}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$
(2) $\overrightarrow{\mathrm{BH}}=\overrightarrow{\mathrm{AH}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(\vec{b}+\vec{c})-\vec{a}=-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$
(3) $\overrightarrow{\mathrm{CE}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{c}-(\vec{a}+\vec{b})=-\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$
(4) $\overrightarrow{\mathrm{DF}}=\overrightarrow{\mathrm{AF}}-\overrightarrow{\mathrm{AD}}=(\vec{a}+\vec{c})-\vec{b}=\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$
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