ベクトルの条件を満たす点の軌跡（円）（B）

$\mathrm{A}$ を始点とし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}$（$|\vec{b}|=3$），$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\vec{p}$ とする．$\mathrm{PA}\geqq 0$，$\mathrm{PB}\geqq 0$ であるから，$\mathrm{PB}=2\mathrm{PA}$ は $\mathrm{PB}^2=4\mathrm{PA}^2$ と同値である．よって \[ |\vec{p}-\vec{b}|^2=4|\vec{p}|^2 \quad\text{すなわち}\quad 3|\vec{p}|^2+2\vec{b}\cdot\vec{p}-|\vec{b}|^2=0 \] $|\vec{b}|^2=9$ を代入して 3 で割ると \[ |\vec{p}|^2+\frac{2}{3}\vec{b}\cdot\vec{p}=3 \quad\text{より}\quad \left|\vec{p}+\frac{1}{3}\vec{b}\right|^2=3+\frac{|\vec{b}|^2}{9}=4 \] $\left|\vec{p}+\dfrac{1}{3}\vec{b}\right|\geqq 0$ であるから $\left|\vec{p}-\left(-\dfrac{1}{3}\vec{b}\right)\right|=2$ $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ となる点 $\mathrm{C}$（線分 $\mathrm{AB}$ の $\mathrm{A}$ の側の延長上で $\mathrm{AC}=1$ の点）をとると，点 $\mathrm{P}$ の軌跡は $\mathrm{C}$ を中心とする半径 $2$ の円である． （この円は線分 $\mathrm{AB}$ を $1:2$ に内分する点と外分する点を直径の両端とするアポロニウスの円である．）