ベクトルの条件を満たす点の軌跡（円）（A）

線分 $\mathrm{AB}$ の中点を $\mathrm{M}$ とし，$\mathrm{M}$ を始点とするベクトルで考える．$\overrightarrow{\mathrm{MA}}=\vec{a}$ とすると $\overrightarrow{\mathrm{MB}}=-\vec{a}$，$|\vec{a}|=2$ である．$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=\vec{p}$ とすると \[ \overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}=(\vec{a}-\vec{p})\cdot(-\vec{a}-\vec{p})=|\vec{p}|^2-|\vec{a}|^2=|\vec{p}|^2-4 \] よって条件は $|\vec{p}|^2-4=5$，すなわち $|\vec{p}|^2=9$ $|\vec{p}|\geqq 0$ であるから $|\vec{p}|=3$ したがって，点 $\mathrm{P}$ の軌跡は線分 $\mathrm{AB}$ の中点を中心とする半径 $3$ の円である．