円上の点での接線をベクトルで表す（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 円上の点での接線をベクトルで表す（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
円 $x^2+y^2=10$ について，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 円上の点 $(3,\,1)$，$(-1,\,3)$ における接線の方程式を，それぞれベクトルを用いて求めよ．
\item[(2)] (1) の 2 本の接線の交点の座標を求めよ．
\end{enumerate}
(1) 円上の点 $\mathrm{P_0}(\vec{p_0})$ における接線上の点を $\mathrm{P}(\vec{p})$ とすると，接線は半径 $\mathrm{OP_0}$ に垂直であるから，$\vec{p_0}\cdot(\vec{p}-\vec{p_0})=0$ より $\vec{p_0}\cdot\vec{p}=|\vec{p_0}|^2=10$ である．
点 $(3,\,1)$ における接線：$3x+y=10$
点 $(-1,\,3)$ における接線：$-x+3y=10$
(2) $3x+y=10$ より $y=10-3x$．$-x+3(10-3x)=10$ より $x=2$，$y=4$．交点は $(2,\,4)$
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